[Class: 4] কোনও গতিশীল বস্তুর একমাত্রিক গতির গানিতিক সমীকরণ:

কোনও গতিশীল বস্তুর একমাত্রির গতির গানিতিক সমীকরণ:

\(s = vt\) সমীকরণের প্রতিষ্ঠা: ধরাযাক একটি বস্তু \(v\) সুষম গতিবেগ নিয়ে সরলরেখা বরাবর গতিশীল। এখন বস্তুটি \(t\) সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
এখানে বস্তুটি \(v\) সুষম গতিবেগ নিয়ে সরলরেখা বরাবর গতিশীল হওয়ায় লেখা যায়,
বস্তুটি \(1\) সেকেন্ডে সরলরেখা বরাবর মোট \(v\) একক দূরত্ব অতিক্রম করে।
সুতরাং বস্তুটি \(t\) সেকেন্ডে সরলরেখা বরাবর মোট \(\left( {v \times t} \right) = vt\) একক দূরত্ব অতিক্রম করে।
সুতরাং কোনো বস্তু \(v\) সমবেগ নিয়ে সরলরেখা বরাবর গতিশীল থাকলে \(t\) সেকেন্ড সময়ে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, \(s = vt\)

\(v = u + at\) সমীকরণের প্রতিষ্ঠা:

একটি বস্তু \(u\) প্রাথমিক বেগ ও \(a\) সমত্বরণ নিয়ে গতিশীল হল। \(t\) সেকেন্ড পর ওই বস্তুর অন্তিম বেগ কত হবে?
এখানে বস্তুটির প্রাথমিক বেগ হল \( = u\) একক
বস্তুটি \(a\) সমত্বরণ নিয়ে \(t\) সময় ধরে গতিশীল হওয়ায়, ধরাযাক বস্তুটির অন্তিম গতিবেগ হয় \( = v\) একক
এখন \(t\) সময়কালে বস্তুটির বেগের পরিবর্তন হয় \( = \left( {v - u} \right)\) একক
ত্বরণের সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি, কোনো বস্তুর বেগ পরিবর্তনের হারকেই ত্বরণ বলে।
তাই এক্ষেত্রে বস্তুটির ত্বরণ =(বেগ পরিবর্তন)/সময়
বা, \(a = \frac{{\left( {v - u} \right)}}{t}\)
বা, \(v - u = at\)
বা, \(v = u + at\)
অর্থাৎ কোনো বস্তু, \(u\) প্রাথমিক বেগ ও \(a\) ত্বরণ নিয়ে \(t\) সময় ধরে গতিশীল থাকলে, ওই \(t\) সময় পরে বস্তুটির অন্তিম বেগ হবে, \(v = u + at\)

কয়েকটি বিশেষক্ষেত্র:
(i) এখন বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করলে, \(u = 0\) হয়। সেক্ষেত্রে
\(v = u + at\)
বা, \(v = 0 + at\)
বা, \(v = at\)

(ii) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে \(a\) সমমন্দনে বা \( - a\) সমত্বরণে গতিশীল থাকলে, \(t\) সময় পরে বস্তুটির অন্তিম বেগ হবে, \(v = u - at\)

(iii) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের অধীনে, অবাধে নীচের দিকে পড়তে থাকলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় \( + g\)। সেক্ষেত্রে, \(t\) সময় পরে পতনশীল বস্তুটির বেগ হবে, \(v = u + gt\)

(iv) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে, উপরের দিকে ছোঁড়া হলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় \( + g\)। সেক্ষেত্রে, \(t\) সময় পরে ঊর্দ্ধগামী বস্তুটির বেগ হবে, \(v = u - gt\)

\(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\) সমীকরণের প্রতিষ্ঠা:

ধরাযাক, একটি বস্তুকণার প্রাথমিক বেগ হল \(u\) একক।
এখন বস্তুকণাটি \(t\) সময় ধরে, \(a\) সমত্বরণ নিয়ে চলার পর অন্তিম বেগ হয় \(v\)। এবং ধরা হল এতে বস্তুটি মোট \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
এখানে বস্তুকণাটি সমত্বরণে গতিশীল হওয়ায়, এই \(t\) সময়ের অবকাশে কণাটির গড়বেগ হয় \({v_{av}} = \frac{{u + v}}{2}\)
সুতরাং \(t\) সময়ে কণাটির অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s = {v_{av}} \times t\)
বা, \(s = {v_{av}}.t\)
বা, \(s = \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right).t\)
বা, \(s = \left( {\frac{{u + u + at}}{2}} \right).t\)
বা, \(s = \left( {\frac{{2u + at}}{2}} \right).t\)
বা, \(s = \left( {u + \frac{1}{2}at} \right).t\)
বা, \(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\)

কয়েকটি বিশেষক্ষেত্র:
(i) এখন বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করলে, \(u = 0\) হয়। সেক্ষেত্রে \(t\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\)
বা, \(s = 0 + \frac{1}{2}a{t^2}\)
বা, \(s = \frac{1}{2}a{t^2}\)

(ii) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে \(a\) সমমন্দনে বা \( - a\) সমত্বরণে গতিশীল থাকলে, \(t\) সময় পরে বস্তুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, \(s = ut - \frac{1}{2}a{t^2}\)

(iii) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের অধীনে, অবাধে নীচের দিকে পড়তে থাকলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় \( + g\)। সেক্ষেত্রে, \(t\) সময় পরে পতনশীল বস্তুটির নীচের দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, \(h = ut + \frac{1}{2}g{t^2}\)

(iv) এখন ওই বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে, উপরের দিকে ছোঁড়া হলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় \( - g\)। সেক্ষেত্রে, \(t\) সময় পরে ঊর্দ্ধগামী বস্তুটির ওপরের দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, \(h = ut - \frac{1}{2}g{t^2}\)

\({v^2} = {u^2} + 2as\) সমীকরণের প্রতিষ্ঠা:
ধরাযাক, একটি বস্তুকণা \(u\) প্রাথমিক বেগ ও \(a\) সমত্বরণ নিয়ে যাত্রা শুরু করে। এখন বস্তুটি \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করার পর, এর অন্তিম বেগ হয় \(v\)। এখানে বস্তুটি প্রাথমিক বেগ \(u\) থেকে বৃদ্ধি পেয়ে অন্তিম বেগ \(v\) হতে, \(t\) সময় লাগলে লেখা যায়,
\(v = u + at\)
এখন সমীকরনের উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
\({\left( v \right)^2} = {\left( {u + at} \right)^2}\)
বা, \({v^2} = {u^2} + 2aut + {u^2}{t^2}\)
বা, \({v^2} = {u^2} + 2a\left( {ut + \frac{1}{2}at} \right)\)
বা, \({v^2} = {u^2} + 2a\left( {ut + \frac{1}{2}a{t^2}} \right)\) \(\left[ {s = \left( {ut + \frac{1}{2}a{t^2}} \right)} \right]\)

কয়েকটি বিশেষক্ষেত্র:
(i) এখন বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করলে, \(u = 0\) হয়। সেক্ষেত্রে \(s\) দূরত্ব অতিক্রমে গতির সমীকরণটি হয়
\({v^2} = {u^2} + 2as\)
বা, \({v^2} = 0 + 2as\)
বা, \({v^2} = 2as\)

(ii) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে \(a\) সমমন্দনে বা \( - a\) সমত্বরণে গতিশীল থাকলে, সেক্ষেত্রে \(s\) দূরত্ব অতিক্রমে গতির সমীকরণটি হয়, \({v^2} = {u^2} - 2as\)

(iii) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের অধীনে, অবাধে নীচের দিকে পড়তে থাকলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় \( - g\)।
সেক্ষেত্রে নীচের দিকে \(h\) দূরত্ব অতিক্রমে কণাটির গতির সমীকরণটি হয়, \({v^2} = {u^2} + 2gh\)

(iv) এখন বস্তুটি \(u\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে, উপরের দিকে ছোঁড়া হলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় \( - g\)।
সেক্ষেত্রে উপরের দিকে \(h\) দূরত্ব অতিক্রমে কণাটির গতির সমীকরণটি হয়, \({v^2} = {u^2} - 2gh\)