[Class: 4] কোনও গতিশীল বস্তুর একমাত্রিক গতির গানিতিক সমীকরণ:

কোনও গতিশীল বস্তুর একমাত্রির গতির গানিতিক সমীকরণ:

$s = vt$ সমীকরণের প্রতিষ্ঠা: ধরাযাক একটি বস্তু $v$ সুষম গতিবেগ নিয়ে সরলরেখা বরাবর গতিশীল। এখন বস্তুটি $t$ সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
এখানে বস্তুটি $v$ সুষম গতিবেগ নিয়ে সরলরেখা বরাবর গতিশীল হওয়ায় লেখা যায়,
বস্তুটি $1$ সেকেন্ডে সরলরেখা বরাবর মোট $v$ একক দূরত্ব অতিক্রম করে।
সুতরাং বস্তুটি $t$ সেকেন্ডে সরলরেখা বরাবর মোট $\left( {v \times t} \right) = vt$ একক দূরত্ব অতিক্রম করে।
সুতরাং কোনো বস্তু $v$ সমবেগ নিয়ে সরলরেখা বরাবর গতিশীল থাকলে $t$ সেকেন্ড সময়ে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, $s = vt$

$v = u + at$ সমীকরণের প্রতিষ্ঠা:

একটি বস্তু $u$ প্রাথমিক বেগ ও $a$ সমত্বরণ নিয়ে গতিশীল হল। $t$ সেকেন্ড পর ওই বস্তুর অন্তিম বেগ কত হবে?
এখানে বস্তুটির প্রাথমিক বেগ হল $= u$ একক
বস্তুটি $a$ সমত্বরণ নিয়ে $t$ সময় ধরে গতিশীল হওয়ায়, ধরাযাক বস্তুটির অন্তিম গতিবেগ হয় $= v$ একক
এখন $t$ সময়কালে বস্তুটির বেগের পরিবর্তন হয় $= \left( {v - u} \right)$ একক
ত্বরণের সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি, কোনো বস্তুর বেগ পরিবর্তনের হারকেই ত্বরণ বলে।
তাই এক্ষেত্রে বস্তুটির ত্বরণ =(বেগ পরিবর্তন)/সময়
বা, $a = \frac{{\left( {v - u} \right)}}{t}$
বা, $v - u = at$
বা, $v = u + at$
অর্থাৎ কোনো বস্তু, $u$ প্রাথমিক বেগ ও $a$ ত্বরণ নিয়ে $t$ সময় ধরে গতিশীল থাকলে, ওই $t$ সময় পরে বস্তুটির অন্তিম বেগ হবে, $v = u + at$

কয়েকটি বিশেষক্ষেত্র:
(i) এখন বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করলে, $u = 0$ হয়। সেক্ষেত্রে
$v = u + at$
বা, $v = 0 + at$
বা, $v = at$

(ii) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে $a$ সমমন্দনে বা $- a$ সমত্বরণে গতিশীল থাকলে, $t$ সময় পরে বস্তুটির অন্তিম বেগ হবে, $v = u - at$

(iii) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের অধীনে, অবাধে নীচের দিকে পড়তে থাকলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় $+ g$। সেক্ষেত্রে, $t$ সময় পরে পতনশীল বস্তুটির বেগ হবে, $v = u + gt$

(iv) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে, উপরের দিকে ছোঁড়া হলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় $+ g$। সেক্ষেত্রে, $t$ সময় পরে ঊর্দ্ধগামী বস্তুটির বেগ হবে, $v = u - gt$

$s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}$ সমীকরণের প্রতিষ্ঠা:

ধরাযাক, একটি বস্তুকণার প্রাথমিক বেগ হল $u$ একক।
এখন বস্তুকণাটি $t$ সময় ধরে, $a$ সমত্বরণ নিয়ে চলার পর অন্তিম বেগ হয় $v$। এবং ধরা হল এতে বস্তুটি মোট $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে।
এখানে বস্তুকণাটি সমত্বরণে গতিশীল হওয়ায়, এই $t$ সময়ের অবকাশে কণাটির গড়বেগ হয় ${v_{av}} = \frac{{u + v}}{2}$
সুতরাং $t$ সময়ে কণাটির অতিক্রান্ত দূরত্ব $s = {v_{av}} \times t$
বা, $s = {v_{av}}.t$
বা, $s = \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right).t$
বা, $s = \left( {\frac{{u + u + at}}{2}} \right).t$
বা, $s = \left( {\frac{{2u + at}}{2}} \right).t$
বা, $s = \left( {u + \frac{1}{2}at} \right).t$
বা, $s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}$

কয়েকটি বিশেষক্ষেত্র:
(i) এখন বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করলে, $u = 0$ হয়। সেক্ষেত্রে $t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব
$s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}$
বা, $s = 0 + \frac{1}{2}a{t^2}$
বা, $s = \frac{1}{2}a{t^2}$

(ii) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে $a$ সমমন্দনে বা $- a$ সমত্বরণে গতিশীল থাকলে, $t$ সময় পরে বস্তুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, $s = ut - \frac{1}{2}a{t^2}$

(iii) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের অধীনে, অবাধে নীচের দিকে পড়তে থাকলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় $+ g$। সেক্ষেত্রে, $t$ সময় পরে পতনশীল বস্তুটির নীচের দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, $h = ut + \frac{1}{2}g{t^2}$

(iv) এখন ওই বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে, উপরের দিকে ছোঁড়া হলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় $- g$। সেক্ষেত্রে, $t$ সময় পরে ঊর্দ্ধগামী বস্তুটির ওপরের দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে, $h = ut - \frac{1}{2}g{t^2}$

${v^2} = {u^2} + 2as$ সমীকরণের প্রতিষ্ঠা:
ধরাযাক, একটি বস্তুকণা $u$ প্রাথমিক বেগ ও $a$ সমত্বরণ নিয়ে যাত্রা শুরু করে। এখন বস্তুটি $s$ দূরত্ব অতিক্রম করার পর, এর অন্তিম বেগ হয় $v$। এখানে বস্তুটি প্রাথমিক বেগ $u$ থেকে বৃদ্ধি পেয়ে অন্তিম বেগ $v$ হতে, $t$ সময় লাগলে লেখা যায়,
$v = u + at$
এখন সমীকরনের উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
${\left( v \right)^2} = {\left( {u + at} \right)^2}$
বা, ${v^2} = {u^2} + 2aut + {u^2}{t^2}$
বা, ${v^2} = {u^2} + 2a\left( {ut + \frac{1}{2}at} \right)$
বা, ${v^2} = {u^2} + 2a\left( {ut + \frac{1}{2}a{t^2}} \right)$ $\left[ {s = \left( {ut + \frac{1}{2}a{t^2}} \right)} \right]$

কয়েকটি বিশেষক্ষেত্র:
(i) এখন বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করলে, $u = 0$ হয়। সেক্ষেত্রে $s$ দূরত্ব অতিক্রমে গতির সমীকরণটি হয়
${v^2} = {u^2} + 2as$
বা, ${v^2} = 0 + 2as$
বা, ${v^2} = 2as$

(ii) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে $a$ সমমন্দনে বা $- a$ সমত্বরণে গতিশীল থাকলে, সেক্ষেত্রে $s$ দূরত্ব অতিক্রমে গতির সমীকরণটি হয়, ${v^2} = {u^2} - 2as$

(iii) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের অধীনে, অবাধে নীচের দিকে পড়তে থাকলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় $- g$।
সেক্ষেত্রে নীচের দিকে $h$ দূরত্ব অতিক্রমে কণাটির গতির সমীকরণটি হয়, ${v^2} = {u^2} + 2gh$

(iv) এখন বস্তুটি $u$ প্রাথমিক বেগ নিয়ে, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে, উপরের দিকে ছোঁড়া হলে, বস্তুটির ওপর ক্রিয়াশীল ত্বরণের মান হয় $- g$।
সেক্ষেত্রে উপরের দিকে $h$ দূরত্ব অতিক্রমে কণাটির গতির সমীকরণটি হয়, ${v^2} = {u^2} - 2gh$